---

Solution

---

Solution

---

Solution

$ S_n=nR+\frac{1}{2}n(n-1)T $ $ S_1=R $ $ S_2=2R+\frac{1}{2}\cdot2\cdot1\cdot T=2R+T $ $ \Rightarrow a_1=R,\ a_2=R+T $ $ \Rightarrow d=a_2-a_1=(R+T)-R=T $

---

Solution

Here, $a=20,\ d=15$ $ S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d] $ $ 3250=\frac{n}{2}[40+(n-1)15] $ $ \Rightarrow 3250=\frac{n}{2}(40+15n-15) $ $ \Rightarrow 3250=\frac{n}{2}(15n+25) $ $ \Rightarrow n(15n+25)=6500 $ $ \Rightarrow 3n^2+5n-1300=0 $ $ \Rightarrow (3n+65)(n-20)=0 $ $ \Rightarrow n=20 $

---

Solution

Let numbers be $a>b$ $ a-b=12 $ $ \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=2 $ $ \Rightarrow a+b-2\sqrt{ab}=4 $ $ \Rightarrow (a+b)^2=(4+2\sqrt{ab})^2 $ $ \Rightarrow a^2+2ab+b^2=16+4ab+16\sqrt{ab} $ Using $a-b=12$ $ (a-b)^2+4ab=16+4ab+16\sqrt{ab} $ $ 144+4ab=16+4ab+16\sqrt{ab} $ $ \Rightarrow 128=16\sqrt{ab} $ $ \Rightarrow \sqrt{ab}=8 $ $ \Rightarrow ab=64 $ Now, $ a+b=4+2\cdot8=20 $ Solving, $ a=16,\ b=4 $

---

Solution

Sum $= \sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{k} i^2$ $= \sum_{i=1}^{n} i^2(n-i+1)$ Simplify ⇒ $= \frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$ Final Answer: $\boxed{\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}}$